Το Πυθαγόρειον Θεώρημα

«Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις, το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον, ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις.»

Όπερ μεθερμηνευόμενον εν τηι Νέα Ελληνικήι:

Το τετράγωνον της υποτεινούσης ισούνται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο απέναντι καθέτων πλευρών.

Εάν ονομάσουμε εις ένα Ορθογώνιον τρίγωνον την υποτείνουσα με α και τις δύο κάθετες πλευρές με β και γ.

Έχουμε δηλαδή: α2 = β2 + γ2 (το 2 εννοείται ως δύναμις εις το τετράγωνον).

Ο Πρόκλος δίδει προβάδισμα στον Ευκλείδη για την απόδειξη του Θεωρήματος:

Παρ' όλο που το ενδιαφέρον των Πυθαγορείων για τα μαθηματικά ήταν επικεντρωμένο κυρίως στην αριθμητική, ως κύρια συμβολή του Πυθαγόρα στην ιστορία των μαθηματικών αναφέρεται συνήθως το γνωστό θεώρημα της υποτείνουσας για τα ορθογώνια τρίγωνα. Το θεώρημα αυτό, μάλιστα, έχει επικρατήσει να ονομάζεται στα σχολικά εγχειρίδια γεωμετρίας "Πυθαγόρειον Θεώρημα".

Ωστόσο, η σύνδεση του ονόματος του Πυθαγόρα με το φερώνυμο θεώρημα είναι εξαιρετικά αμφίβολη και δεν υπάρχει καμμία άμεση αρχαία μαρτυρία που να την επιβεβαιώνει. Ο Πρόκλος, στο σχετικό σχόλιό του, φαίνεται επιφυλακτικός απέναντι στην παράδοση λέγοντας ότι "αν ακούσουμε εκείνους οι οποίοι επιθυμούν να εξιστορούν τα αρχαία, τους βρίσκουμε να αποδίδουν το θεώρημα αυτό στον Πυθαγόρα", ενώ με τον ίδιο επιφυλακτικό τρόπο συνεχίζει προσθέτοντας ότι: "εγώ θαυμάζω μεν και αυτούς οι οποίοι πρώτοι επισήμαναν την αλήθεια αυτού του θεωρήματος, περισσότερο όμως θαυμάζω τον συγγραφέα της Στοιχειώσεως (δηλαδή των Ευκλείδη), όχι μόνο διότι το περιέβαλε με μια εναργέστατη απόδειξη, αλλά διότι στο έκτο βιβλίο καθυπέταξε με ακαταμάχητους επιστημονικούς συλλογισμούς και το γενικότερο θεώρημα", εννοώντας το θεώρημα σύμφωνα με το οποίο στα ορθογώνια τρίγωνα το ευθύγραμμο σχήμα που αναγράφεται επί της υποτείνουσας είναι ίσο με τα όμοια και ομοίως αναγραφόμενα σχήματα που αναγράφονται επί των καθέτων πλευρών.

Ο Πρόκλος λοιπόν αποδίδει την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος στον Ευκλείδη, ενώ για τους παλαιότερους μαθηματικούς (προφανώς εννοεί τους Πυθαγορείους) αναφέρει απλώς ότι: "επεσήμαναν την αλήθεια του θεωρήματος".